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对策论

[ 作者:boyilun.net 加入时间:2008-12-13 00:00:00 来自:boyilun.net ]

	『本站出售，域名Boyilun.net+内容』『谢绝还价！详情咨询 13761630213 上海秦华』对策论又称博弈论，运筹学的一个分支，是关于两个或多个局中的人按一定规则处于竞争状态下的决策行为的数学理论。　　对策论起源于关于室内游戏(象棋、扑克等)局中人的行为与得失的研究。其理论对于局中参与者要求其策略和竞争在行为形态上具有相似性，从而在局中人已知自己全部可采取的策略，而不知他方如何决策的情况下，给竞争各方提供选择最优决策的理论和方法。　　1921年法国的包瑞尔首先做出对策论的研究。美籍数学家冯·诺意曼在1928年提出的“最大最小原则”奠定了对策论的理论基础，特别是在1944年发表的《对策论与经济行为》一书，引起了广泛的注意，对策论也由最初对于桥牌、棋艺的研究转到对经济、军事、心理等领域的广泛应用。现在，对策论在线性规划、统计判决、管理科学、运筹学和军事计划等领域都有着密切关系。对策论也是安全管理学的理论基础。现代化生产中的安全问题是极复杂的问题，运用对策论解决这些复杂的问题，提出新模型具有重要意义。　　参与对策的局中人可以是一个人，也可以是若干人或一个队，例如，在桥牌中的一对搭档。娱乐性对策通过制定出的一个规则表来说明，为使一对策能进行，它必须具有以下性质：(1)必须有一种开始对策的方式；(2)必须明确列出对于在对策中可能出现的局势来说是合法的(即允许的)移步表；(3)在每一步，必须恰好有一个局中人被指定做出选择，不然就用一随机设备(例如掷骰子或旋转一指示针)做出选择；(4)经过有限步之后，对策终止；或者宣布获胜者，或者在局中人之间交换支付，或两者兼而有之。任意满足类似于这些规则的竞争局势，都可以看做是一对策，并应用对策论来分析。当对策用一规则表做出规定时，我们就说它是广泛形式的对策。　　为了数学上的方便而提出正规化形式的对策，这需要引进纯策略的概念。一个局中人(不是随机局中人)的纯策略是这样的一张合法移步的完备清单，根据这张清单，他对于对策过程中的每一种可能的场合都能做出自己的选择。局中人的全体纯策略组成策略集合，这个数目往往很庞大，所以对策论的实际应用即使对于娱乐性对策也由于计算上的困难而受到严重的限制。但为能在计算机上实现，可以对它作一些简化。　　从每个局中人的策略集合中各取一个策略所组成的策略组，称为局势。一局对策结束后，每个局中人的胜负，称为得失(赢得与损失)，而每个局中人的得失又是全体局中人所取定的一组策略的函数，即得失是局势的函数，称为支付函数。　　室内游戏的结构也可加以公式化。按一个概率选择步骤组成具有半序结构的对策树，树的分枝表示步骤，从最下端沿树顺枝向上至最上端的一点的一条通路表示一次游戏的过程，称为一局。　　对策论按局中决策人数的多少可分为二人对策或多人对策；按局中人的合作态度可分为合作对策与非合作对策；按局中人支付函数的总和是否固定可分为零和对策和非零和对策。另外，还有研究追赶现象的微分对策等。分析对策现象可以用支付矩阵(标准形)或对策(展开形)等方法。　　正规化形式的对策在对策中局中人选择了纯策略之后，他们不必亲自进行对策，而可以把他们的策略交给中间人或公证人，然后由这个人来执行他们的指示并实现他们的移步。这种直观明白的想法很自然引出对策正规化形式。　　暂且假设在对策中没有随机步，即有n个实在的局中人而没有随机局中人。用S1，S2，…，Sn分别表示第1，2，…，n个剧中人的特定的纯策略。给出了这些，对策必须恰好以一种方式进行并得到惟一的结局。设P(S1，S2，…，Sn)是在这一局对策中第i个局中人的金钱收支。假若只宣布获胜者而不交换金钱，则可以随意要求每一失败者交出一个单位的(金钱)并由获胜者均分失败者的支付，用这种办法就做出一种金钱的分配。　　在可以引入随机局中人的作用之前，必须阐明数学期望这个重要的概念。假设Q1，Q2，…，Qk，是一随机事件的相互排斥的金钱收支，又进一步假设它们发生的概念是p1，p2，…，pk，其中pi>0和p1 p2 … pk=1，则随机事件的数学期望E定义为和数E=p1Q1 p2Q2 … pkQk。　　作为一个例子，假设某人抛掷一个硬币，如果掷得正面他获得3元，掷得反面他要付出1元。假设硬币是均匀的，每一事件发生的概率是1／2，于是数学期望是3(1／2)—1(1／2)=1，注意数学期望不等于实际上海一次抛掷硬币所能得到的任一种支付，我们可以把它解释为当试验重复很多次时所得支付的平均数。　　如果在对策中有随机步，一个纯策略集合(其中含每一局中人的纯策略)并不惟一确定对策的结果，它只是确定一组可能的结果，这些结果是相互排斥的，并且具有依赖于他们所发生的有关随机步的概率，因此这时人们能够令pi(S1，S2，…，Sn)是局中人i(对i=1，2，…，n)的期望支付。　　现在，一对策的正规化形式就定义为对于每一种可能的纯策略组合，每个局中人的所有期望支付的清单。在二人对策的情形，把这些排列成矩阵的形式是最方便的。　　统计对策统计学家沃尔特把对策论用于统计判决函数理论，这是对策论在其他领域中的一个最早的应用。在这种统计对策中，行局中人解释为统计学家，列局中人解释为大自然。大自然和实际生活中的局中人之间的差别在于它没有为我们所知的偏向，它有时可以做出有助于统计学家的选择，有时则不是。沃尔特选定把对策论直接应用于这个问题，并给出了统计学家的像矩阵对策中的极小一极大策略那样的解。有些人认为这个解太悲观而加以反对，同时提出了一些其他的解。　　例如，在医生的“两难问题”中，统计学家就是一个要对治疗某种疾病的两种药物A和B进行检验的医生，已知药物A对治疗有点效果而不会引起副作用，药物B在某些情况下有特效，但带有不希望产生的副作用，然而还不能肯定副作用是否仅由药物引起。医生把这种情况列成下面的表进行分析，他规定这些支付是把正的金钱结果联系于疾病的早期痊愈而把负的结果联系于不希望有的副作用。医生应该怎样做出他的选择呢?他为了使自己免遭在使用纯策略时可能导致的失败，就要选择第一行，因为这一行的极小值是最大的。如果他允许自己使用混合策略，他就要利用最优策略，即以概率5／6选取第一行和以概率1／6选取第二行(例如，他可以掷一颗骰子，当且仅当掷出1点时选择药物B)。　　许多人对于使用随机设备来做出如此重要的决定似乎有抵触，但是对策论证明了，如果目的要使数学期望为最大，而且对情况的分析又是正确的，则这样的决定规则应是最优的。　　在企业安全生产决策中，类似“两难问题”是很多的。统计决策，有助于决策者做出最佳选择。医生的选择大自然的选择A比B好B比A好用A而不用B用B而不用A10—5520 　　简单对策在政治行为的应用中，一类重要的n人对策是所谓简单对策。在这样的一个对策中每个联盟可以是获胜的、失败的或僵持的。例如，一个获胜的联盟可以是一批能够选出他们的候选人的选民，或者是一群使他们的法案获得通过的立法者，不在一给定的获胜联盟内的局中人形成失败的联盟。最后，一个联盟是僵持的，结果无论是在联盟中或不在联盟中的局中人都不能实现他们的愿望。　　有一个很普遍的观察结果，即在这样的一种投票局面中，一个人的权力不一定和他所支配的票数成比例，这部分是由于人与人之间的差异，部分是由于投票结构本身。夏普利提出的权力指标是事先给每一个局中人指定一个数，这个数表明投票结构给予该局中人的权力，我们将在下面的例子中加以具体说明。　　甲、乙和丙是某委员会的成员，在委员会中对任一争论问题甲能投1票，乙能投2票，丙能投3票。如果通过一个议案需要4票，这时候获胜的、失败的和僵持的联盟是哪些?每人的相对投票权力是什么? 　　获胜的联盟是(甲、丙)，(乙、丙)和(甲、乙、丙)。失败的联盟是(甲)和(乙)。僵持的联盟是(甲、乙)和(丙)。　　假设人们逐个进入委员会的房间。一个人当他进入房间而使得在房间内的人群由一个失败的或僵持的联盟变为获胜的联盟时就是关键性的，这三个人进入房间的顺序可以有6种。因为丙在6次中有4次是关键性的，所以给予他权力4／6=2／3。类似的，甲和乙每人有一次是关键性的，故给予他们每人的权力是1／6。注意所有权力加起来的和是1。还要指出，丙只是支配半数选票，但确有2／3的权力，而乙支配1／3的选票，但只有1／6的权力。　　这模型能够用来对投票人的实际权力和他的如上给定的指标加以比较，这样一来，借助模型可以把人的因素从投票结构中分离出来。对这模型还可作进一步的推广。　　对策机器大型电子计算机在数值问题中最早的应用之一是解大型矩阵对策。为了求这样的解已提出了一些方法。目前，这些方法中最为流行的是丹齐格提出的单纯形法。在现今可供使用的机器上已编出解m n≤4000的对策程序。利用所谓分解法能够把这些方法推广到某些带有上千个或者上百万个变量和约束条件的问题。方法主要应用于解线性规划问题，我们可以证明这和矩阵对策是等价的。　　计算机经编制程序还可以用来进行像跳棋与象棋那样的棋盘上的对策。严格说来，它们现在完全没有用到对策论，只不过人们在设计代码时使用了某些对策概念。用计算机进行这些对策迄今还不如一个中等水平的棋手，但是，仍然有希望在不远的将来使它们变得比人类的棋手好，甚至最终能帮助回答关于象棋是否一定成和局或者是否不是黑方就是白方有一个最优的获胜策略这样的问题。　　由于对策论的应用经常导致巨大的矩阵对策，显然，理论的未来应用将部分地依赖于计算机为如此大型的对策提供解的能力。　　结论对策论的结构分析为哲学家和行为科学家长期考虑的许多问题提供了基础。例如，福利国家的概念、垄断理论、支付极大数之极大值的想法和空谈政治家的竞争等，所有这些要借助对策论重新作严格的审查。支付极大数之极大值的想法已被证明是不可取得的(极小一极大原理是切实可行的)。在社会学和政治科学中，发展了有助于分析老问题和对新问题的分析更加敏锐的模型，上面研究的投票模型就是这样的例子。
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